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这一讲，主要是从一些宏观的角度来描述了一下近似推断的方法和思想。几乎所有的无向图都会涉及到推断(Inference)的问题。概率图模型的三大问题分别是，表示(Representation)，学习(Learning)和推断问题(Inference)。本节侧重从深度学习的角度来看一下Inference。
Background}
推断的目的}
首先我们要明确推断的目的是什么？我们为什么要进行推断，我们假设$v$是可观测变量，$h$是不可观测的隐藏变量。推断的目的可以分为以下两个部分。
推断本身的意义}
推断行为，求解的是在给定观测变量下，隐藏变量的后验概率分布，即为$P(h|v)$。这是一种对原因的追溯，就像当我们看到一个事实的时候，去想他为什么会发生，这本身就很有意义。
Learning问题中的运用}
在Learning的过程中，很多时候我们都用到了推断。比如在EM算法中，第一步是求关于$P(h|v)$的后验下，关于$P(h,v)$的期望，然后在令这个函数最大化。这是一个反复迭代的过程，在最大化的过程中，我们要知道$\mathbb{E}_{P(h|v,\theta^{(t)})}[P(h,v,\theta)]$的参数化表达形式，所以避免不了求$P(h|v,\theta^{(t)}0$的过程。所以在学习的过程中，经常涉及到Inference的问题。
为什么要近似推断？}
为什么要近似近似推断呢？因为大部分情况下，精确推断实在是太复杂了， 基本上是intractable。为了解决这个大问题，诞生了很多近似推断的方法，为什么会造成这个原因呢？我们看看下面四个模型，为了方便描述，假设每个节点都是离散随机变量，服从伯努利分布(0/1分布)。
\(\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.9\textwidth]{微信图片_20200315123116.png} \caption{Boltzmann Machine，Restricted Boltzmann Machine，Deep Boltzmann Machine和Sigmoid Belief Network的概率图模型，灰色的节点代表$v$，白色的节点代表$h$。} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\)
Boltzmann Machine}
图一中的(1)就是Boltzmann Machine，它的理论依据是很好的，但是并没有很好的办法去解决它。无向图求解概率密度分布，需要转换成最大团势函数的乘积，而Boltzmann Machine中节点之间的关系过于复杂，很难被分解。所以导致计算基本是intractable的。\textbf{无向图的后验不好处理的原因就是连接本身带来相互作用，不容易进行分解，这是无向图模型的硬伤。}
Restricted Boltzmann Machine}
图一中的(2)就是Restricted Boltzmann Machine，在这个概率图模型中，可以看到，$h$和$v$集合内部的节点都是互相独立的，而集合之间的节点都是相互连接的。结点内部的节点相互独立性可以通过局部马尔可夫性质证明。
Deep Boltzmann Machine}
图一中的(3)就是Deep Boltzmann Machine，很显然虽然第三层是可观测的，而第一层和第二层节点之间的关系函数很复杂，不可做到相互独立，相互分离，那么同样还是intractable，无法处理。只有当两层是可观测的之后，剩下的那层节点之间才是相互独立的。
Sigmoid Belief Network}
图一中的(4)就是Sigmoid Belief Network，网络中的概率图模型是有向的，同样$P(h|v)$是求不出来的。根据D-Separation中Head to Head的结构。当中间节点被观测到时，两个head节点是有关系的，不是相互独立的。那么，$h$节点之间就是无法分解的，后验分布求解依然很困难，这就是有向图的explain away问题。
如果，条件分布是Gaussian Distribution就很优美了，根据Gaussian分布的自共轭性，他的条件，联合概率分布都是Gaussian的，这就很好办了，我们之前有用待定系数的方法俩求这个后验概率分布。
小结}
关于无向图精确推断主要问题就是节点之间的mutual interaction；有向图精确推断主要问题就是explain away。
推断即优化}
变分推断}
由于精确推断的难度很高，所以近似推断崛起了。比如EM系列和VI系列。
可以将可观测变量的Log Likelihood转为一个优化ELBO下界和KL散度的形式，从而优化ELBO下界就可以了。Log Likelihood公式表达如下所示：
\(\begin{equation} \frac{1}{N} \sum_{v} \log P(v) \end{equation}\) 而$\log P(v)$，可以表达为：
\(\begin{equation} \begin{split} \log p(v) = & \log \frac{p(h,v)}{p(h|v)} = \log p(h,v) - \log p(h|v) = \log\frac{p(h,v)}{q(h|v)} - \log \frac{p(h|v)}{q(h|v)} \\ \end{split} \end{equation}\) 将等式两边都乘上$q(h|v)$，可以得到：
\(\begin{equation} q(h|v) \log p(v) = q(h|v) \left( \log\frac{p(h,v)}{q(h|v)} - \log \frac{p(h|v)}{q(h|v)} \right) \end{equation}\) 因为$q(h|v)$是一个关于$h$的函数，我们将等式两边对$h$积分。其中，左边的$p(v)$和$h$没有关系，而$\int q(h|v) =1$，所以有 \(\int q(h|v) \log p(v) dh = \log p(v) \int q(h|v) dh = \log p(v)\) 那么有，
\(\begin{equation} \begin{split} \log p(v) = & \int q(h|v) \left[ \log\frac{p(h,v)}{q(h|v)} - \log \frac{p(h|v)}{q(h|v)} \right]dh \\ = & \int q(h|v) \left[ \log\frac{p(h,v)}{q(h|v)} \right]dh - \int q(h|v) \left[ \log \frac{p(h|v)}{q(h|v)} \right]dh \\ = & \int q(h|v) \left[ \log\frac{p(h,v)}{q(h|v)} \right]dh + \int q(h|v) \left[ \log \frac{q(h|v)}{p(h|v)} \right]dh \\ = & \underbrace{\mathbb{E}_{q(h|v)} \left[ \log\frac{p(h,v)}{q(h|v)} \right]}_{\mathrm{ELBO}} + \mathrm{KL}[q(h|v)||p(h|v)] \\ \leq & \mathbb{E}_{q(h|v)} \left[ \log\frac{p(h,v)}{q(h|v)}\right] \end{split} \end{equation}\) 因为KL散度是很大于0的，那么我们只要优化ELBO就可以优化$p(v)$了，这就是优化下界的方法。而ELBO可以继续化简为：
\(\begin{equation} \begin{split} \mathbb{E}_{q(h|v)} \left[ \log\frac{p(h,v)}{q(h|v)}\right] = & \mathbb{E}_{q(h|v)} \left[ \log p(h,v) - \log q(h|v)\right] \\ = & \mathbb{E}_{q(h|v)} \left[ \log p(h,v) \right] -\mathbb{E}_{q(h|v)} [ \log q(h|v) ] \\ = & \mathbb{E}_{q(h|v)} \left[ \log p(h,v) \right] + \mathrm{H}(q(h|v)) \end{split} \end{equation}\) 我们可以将ELBO函数看成$\mathcal{L}(v,h,q)$(q(h|v)是一个函数，函数的函数被称为泛函)。我们的目标就是优化这个函数，从而达到计算$P(v)$。$p(v)$是一个未知的客观真理，所以我们把它当成一个常量来看，而最大化ELBO，实际上也在最小化KL散度。所以，这个算法的目的就是找一个简单的$q(h|v)$去靠近$p(h|v)$，这个$p(h|v)$是不是就是推断。所以说，\textbf{推断即优化}。
小结}
本小节主要是通过变分推断的例子来揭示了为什么说推断就是优化，在变分推断的例子中，我用最大化ELBO来使一个简单的分布$q(h|v)$来逼近$p(h|v)$。
总结}
本章，首先介绍了推断的目的是什么，1. 寻找事情发生的原因；2. Learning问题中的使用。然后，分无向图和有向图介绍了精确推断的难点，无向图精确推断主要问题就是节点之间的mutual interaction；有向图精确推断主要问题就是explain away。从而引出了近似推断，然后用变分推断的例子来讲述了推断即优化的思想。整个过程比较流畅。
