本节我们想使用极大似然估计来求解Gaussian Mixture Model (GMM)的最优参数结果。首先，我们明确一下参数的意义：

$X$：Observed data，$X = (x_1, x_2, \cdots, x_N)$。

$(X,Z)$：Complete data，$(X,Z) = { (x_1,z_1),(x_2,z_2),\cdots,(x_N,z_N) }$。

$\theta$：parameter，$\theta={ P_1, \cdots, P_k, \mu_1, \cdots, \mu_k,\Sigma_1,\cdots,\Sigma_k }$。

Maximum Likelihood Estimation求解参数}

\[\begin{equation} \begin{split} P(x) = & \sum_Z P(X,Z) \\ = & \sum_{k=1}^K P(X,z = C_k) \\ = & \sum_{k=1}^K P(z = C_k)\cdot P(X|z=C_k) \\ = & \sum_{k=1}^K P_k \cdot \mathcal{N}(X|\mu_k,\Sigma_k) \end{split} \end{equation}\]

其中，$P_k$也就是数据点去第$k$个高斯分布的概率。下面我们开始使用MLE来求解$\theta$：

\[\begin{equation} \begin{split} \hat{\theta}_{MLE} = & \arg\max_{\theta} \log P(X) \\ = & \arg\max_{\theta} \log \prod_{i=1}^N P(x_i) \\ = & \arg\max_{\theta} \sum_{i=1}^N \log P(x_i) \\ = & \arg\max_{\theta} \sum_{i=1}^N \log \sum_{k=1}^K P_k \cdot \mathcal{N}(x_i|\mu_k,\Sigma_k) \\ \end{split} \end{equation}\]

我们想要求的$\theta$包括，$\theta={ P_1, \cdots, P_k, \mu_1, \cdots, \mu_k,\Sigma_1,\cdots,\Sigma_k }$。

MLE的问题}

按照之前的思路，我们就要分布对每个参数进行求偏导来计算最终的结果。但是问题马上就来了，大家有没有看到$\log$函数里面是一个求和的形式，而不是一个求积的形式。这意味着计算非常的困难。甚至可以说，我们根本就求不出解析解。如果是单一的Gaussian Distribution：

\[\begin{equation} \log P(x_i) = \log \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} exp\left\{ -\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma} \right\} \end{equation}\]

根据log函数优秀的性质，这个问题是可以解的。但是，很不幸后面是一个求和的形式。所以，直接使用MLE求解GMM，无法得到解析解。

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Gaussian_Mixture_Model_02_Maximum_Likelihood_Estimation

2022年10月

Maximum Likelihood Estimation求解参数}

MLE的问题}

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