从这节开始，我们将从最大熵的角度来解析指数族分布。首先，我们需要定义一下什么是熵？所谓熵，就是用来衡量信息反映的信息量的多少的单位。这里我们首先介绍一下，什么是熵？
最大熵原理}
假设$p$是一个分布，所谓信息量就是分布的对数的相反数(p是小于1的，为了使信息量的值大于0)，即为$-\log p$。而熵则被我们定义为:
\[\begin{equation} \begin{split} \mathbb{E}_{p(x)}[-\log p(x)]= & \int -p(x)\log p(x) dx \\ = & - \sum_{x} p(x)\log p(x) \end{split} \end{equation}\]而最大熵原理实际上就可以定义为等可能。这是一种确定无信息先验分布的方法，它的原理就是是所有的可能都尽可能的出现，而不会出现类似于偏见的情况。接下来，我们令
\[\begin{equation} H(x)=-\sum_x p(x)\log p(x) \end{equation}\]假设$x$是离散的，
\[\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{c|cccc} $x$ & 1 & 2 & $\cdots$ & $k$ \\ \hline $p$ & $p_1$ & $p_2$ & $\cdots$ & $p_k$ \\ \end{tabular} \caption{随机变量x的概率密度分布情况} \label{tab:my_label} \end{table}\]并且，需要满足约束条件，
\[\begin{equation} s.t. \qquad \sum_{i=1}^Np_i=1 \end{equation}\]那么，总结一下上述的描述，优化问题可以写为：
\[\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \mathop{\argmax} -\sum_x p(x)\log p(x) & \\ s.t. \qquad \sum_{i=1}^Np_i=1 & \end{array} \right. \end{equation}\]可以将其改写为：
\[\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \mathop{\argmin} \sum_x p(x)\log p(x) & \\ s.t. \qquad \sum_{i=1}^Np_i=1 & \end{array} \right. \end{equation}\]实际上也就是求$\hat{p_i} = \mathop{\argmin} -H(p(x))$，其中$p=\begin{pmatrix} p_1 & p_2 & \cdots & p_k \end{pmatrix}^T$。我们使用拉格朗日乘子法来求带约束的方程的极值。定义损失函数为：
\[\begin{equation} \mathcal{L}(p,\lambda) = \sum_{i=1}^N p(x_i)\log p(x_i) + \lambda(1-\sum_{i=1}^k p_i) \end{equation}\]下面是对$\hat{p_i}$的求解过程，
\[\begin{equation} \begin{split} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial p_i} = & \log p_i + p_i \frac{1}{p_i} - \lambda = 0 \\ \end{split} \end{equation}\]解得：
\[\begin{equation} \begin{split} p_i = exp(\lambda-1) \end{split} \end{equation}\]又因为$\lambda$是一个常数，所以$\hat{p}_i$是一个常数，那么我们可以轻易得到
\[\begin{equation} \hat{p}_1 = \hat{p}_2 = \hat{p}_3 = \cdots = \hat{p}_k = \frac{1}{k} \end{equation}\]很显然$p(x)$是一个均匀分布，那么关于离散变量的无信息先验的最大熵分布就是均匀分布。
指数族分布的最大熵原理}
我们首先写出指数族分布的形式：
\[\begin{equation} p(x|\eta)=h(x)exp\left\{ \eta^T\varphi(x)-A(\eta) \right\} \end{equation}\]我们可以换一种形式来定义，为了方便之后的计算：
\[\begin{equation} p(x|\eta)=\frac{1}{Z(\eta)}h(x)exp\left\{ \eta^T\varphi(x) \right\} \end{equation}\]但是，我们用最大熵原理来求指数族分布的时候，还查一个很重要的东西，也就是经验约束。也就是我们的分布要满足既定的事实上基础上进行运算。那么，我们需要怎么找到这个既定事实的分布呢？假设我们有一个数据集$Data = {x_1, x_2, x_3, \cdots, x_N}$。那么，我们定义分布为，
\[\begin{equation} \hat{p}(X=x)=\hat{p}(x)=\frac{Count(x)}{N} \end{equation}\]那么我们可以得到一系列的统计量$\mathbb{E}{\hat{p}}(x)$，$Var{\hat{p}}(x)$，$\cdots$。那么假设，$f(x)$是关于任意$x$的函数向量。那么我们定义$f(x)$为：
\[\begin{equation} f(x) = \begin{pmatrix} f_1(x) \\ f_2(x) \\ \vdots \\ f_Q(x) \end{pmatrix} \qquad \Delta = \begin{pmatrix} \Delta_1 \\ \Delta_2 \\ \vdots \\ \Delta_Q \end{pmatrix} \end{equation}\]其中，假设$\mathbb{E}_{\hat{p}}[f(x)]=\Delta$(已知)。同样，我们将熵表达出来，
\[\begin{equation} H[p] = - \sum_x p(x)\log p(x) \end{equation}\]那么，这个优化问题，可以被我们定义为:
\[\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \mathop{\argmin} \sum_x p(x)\log p(x) & \\ s.t. \qquad \sum_{i=1}^Np_i=1 & \\ \qquad \quad \ \ \mathbb{E}_p[f(x)]=\mathbb{E}_{\hat{p}}[f(x)]=\Delta & \\ \end{array} \right. \end{equation}\]同样，我们使用拉格朗日乘子法来求带约束的方程的极值。定义损失函数为：
\[\begin{equation} \mathcal{L}(p,\lambda_0, \lambda) = \sum_{i=1}^N p(x_i)\log p(x_i) + \lambda_0(1-\sum_{x} p)+\lambda^T(\Delta - \mathbb{E}_p[f(x)]) \end{equation}\]将$\mathbb{E}_p[f(x)])$进行改写为：
\[\begin{equation} \mathcal{L}(p,\lambda_0, \lambda) = \sum_{i=1}^N p(x_i)\log p(x_i) + \lambda_0(1-\sum_{x} p)+\lambda^T(\Delta - \sum_x p(x)f(x)) \end{equation}\]我们的目的是求一个$\hat{p}(x)$，那么使用求偏导的方法，
\[\begin{equation} \frac{\mathcal{L}(p,\lambda_0, \lambda)}{p(x)}=\sum_x\left( \log p(x) + p(x)\frac{1}{p(x)} \right) - \lambda_0 + \sum_x \lambda^Tf(x) = 0 \end{equation}\] \[\begin{equation} \sum_x\left( \log p(x) + 1 \right) - \lambda_0 - \sum_x \lambda^Tf(x) = 0 \end{equation}\] \[\begin{equation} \log p(x) + 1 - \lambda_0 - \lambda^Tf(x) = 0 \end{equation}\] \[\begin{equation} \log p(x) = \lambda_0 - 1 + \lambda^Tf(x) \end{equation}\] \[\begin{equation} p(x) = exp\left\{\lambda_0 - 1 + \lambda^Tf(x)\right\} \end{equation}\]整理一下即可得到$p(x) = exp\left{\lambda^Tf(x) - ( 1 - \lambda_0) \right} $，那么我们可以将$\eta = \begin{pmatrix} \lambda_0 \ \lambda \end{pmatrix}$，$f(x)=\varphi(x)$，$(1-\lambda_0)=A(\eta)$。很显然，$p(x)$是一个指数族分布。那么我们可以得到一个结论，一个无先验信息先验的分布的最大熵分布是一个指数族分布。
