Introduction
| 在上一小节中讲到了Latent Variable Model（LAM），VAE。其主要思想就是将隐变量扩充为高维连续的分布，来增强模型的表达能力。而LAM模型中的核心困难是$P(X)$计算不出来，因为$P(X) = \int_Z P(X | Z)P(Z) dZ$，而$Z$的维度过高$P(X)$算不出来。而根据Bayesian公式： |
| 所以导致$P(Z | X)$无法计算。而VAE那章介绍了近似推断的方法，使用一个简单分布$Q_\phi(Z | X)$来近似$P(Z | X)$，其中还使用重参数化技巧来用一个神经网络来代替分布。 |
而在VAE中通过优化变分下界ELBO来达到最终优化的目的，而不是直接对Log似然函数进行优化。所以当然会有误差了。那么这将启发我们，可不可以绕过这个intractable的$P(Z)$，使模型变得tractable。
Flow based Model
什么是flow model呢？首先用一张图来进行表示：
可以用一个简单的例子来简单的介绍Flow model。$X$可以代表是当前的自己，人是比较复杂的，所以$X \to P_X(X)$计算非常困难。而一般昨天的我$Z_k \to P_{Z_k}(Z_k)$，比今天要简单一点，但是很有可能，昨天的我依然很复杂，无法计算。那么，就不但的往前推，到了刚出生的时候$Z_0$，这时肯定是非常简单的，$Z_0 \to P_{Z_0}(Z_0)$婴儿的世界里是非黑即白的，此时的分布很简单，可以被假设为$\mathcal{N}(0,I)$。而这个过程：
\[\begin{equation} P_{Z_0}(Z_0) \to P_{Z_1}(Z_1) \to P_{Z_2}(Z_2) \cdots \to P_{Z_k}(Z_k) \to P_{X}(X) \end{equation}\]就被称为“流”。因为流模型中初始分布是很简单的。极大似然估计中求的是：$\arg\max P(X)$。那么下一个问题就是如何建立$X$和$Z_0$之间的关系，将$\arg\max P(X)$转换成求关于$P(Z_0)$的函数。
Change of Variables
假设$X=f(Z)$，$Z,X\in \mathbb{R}^p$。而$Z\sim P_Z(Z)$，$X\sim P_X(X)$；$f$是一个光滑可逆的函数。
那么可以得到：
\[\begin{equation} \int_Z P_Z(Z) dZ = 1 = \int_X P_X(X) dX \end{equation}\]根据不定积分的性质可以得到：
\[\begin{gather} |P_Z(Z) dZ| = |P_X(X) dX| \\ P_X(X) = \left| \frac{dZ}{dX} P_Z(Z) \right| \end{gather}\]而$X=f(Z)$且$f$是光滑可逆的，所以$Z = f^{-1}(X)$，那么有
\[\begin{equation} P_X(X) = \left| \frac{\partial f^{-1}(X)}{\partial X} \right|P_Z(Z) \end{equation}\]但是实际上$Z$和$X$都是高维变量，所以$\frac{\partial f^{-1}(X)}{\partial X}$是一个Jacobian Matrix。\textbf{熟悉矩阵的朋友应该知道，矩阵代表了一个变换，而矩阵行列式的值则代表了变换的尺度。}而在计算中我们关注的是矩阵变换的尺度，所以，
\[\begin{equation} P_X(X) = \left| \text{det}\left( \frac{\partial f^{-1}(X)}{\partial X} \right) \right|P_Z(Z) \end{equation}\]| 而最终的目的是想将$P_X(X)$完全用一个$Z$为自变量的函数来表达，所以要将$\left | \frac{\partial f^{-1}(X)}{\partial X} \right | $用$Z$来表示。下面先写结论 |
这个结论是怎么来的呢？我们来看一个简单的例子，如下图所示：
如图所示，$y=f(x)$，$x=f^{-1}(y)$。那么有
\[\begin{equation} \frac{dy}{dx} = \frac{\partial f(x)}{\partial x}, \frac{dx}{dy} = \frac{\partial f^{-1}(y)}{\partial y} \end{equation}\]而，
\[\begin{equation} \frac{\partial f(x)}{\partial x} \frac{\partial f^{-1}(y)}{\partial y} = 1 \end{equation}\]在本文举的例子中，
\[\begin{equation} \begin{split} (f^{-1})'(a) = \frac{b-c}{a-c} \\ (f)'(b) = \frac{a-c}{b-c} \end{split} \end{equation}\]很显然有$(f^{-1})’(a) f’(b) = 1$。这就是change of variables theorem。我们可以得到两个变量之间关于映射$f$的转换为：
\[\begin{equation} \begin{split} P_X(X) = & \left| \text{det}\left( \frac{\partial f^{-1}(Z)}{\partial Z} \right) \right|^{-1}P_Z(Z) \end{split} \end{equation}\]\textbf{那么，当训练完成之后，从$P(Z)$中采样比较简单，通过上述公式，就可以得到$P(X)$，所以$P(X)$是可求解的。}如何学习呢？其实并不难，通过极大似然估计可以得到：
\[\begin{equation} \log P_X(X) = \log \left| \text{det}\left( \frac{\partial f^{-1}(Z)}{\partial Z} \right) \right|^{-1} + \log P_Z(Z) \end{equation}\]那么：
\[\begin{equation} \begin{split} \frac{\partial \log P_X(X)}{\partial X} = & \frac{\partial \log \left| \text{det}\left( \frac{\partial f^{-1}(Z)}{\partial Z} \right) \right|^{-1} + \log P_Z(Z)}{ \partial Z} \frac{\partial Z}{ \partial X} \\ = & \frac{\partial \log \left| \text{det}\left( \frac{\partial f^{-1}(Z)}{\partial Z} \right) \right|^{-1} + \log P_Z(Z)}{ \partial Z} \frac{\partial f^{-1}(X)}{ \partial X} \end{split} \end{equation}\]由于$f$的逆很要求，上述梯度的计算还是比较简单的。然而，关于大矩阵行列式的计算并不美丽。后续有很多针对这点的改进方法，有兴趣的同学自行查看flow based的论文。
[1] ICLR 2015 NICE-Non-linear Independent Components Estimation
[2] ICLR 2017 Density estimation using Real NVP
[3] 2018 Glow: Generative Flow with Invertible 1×1 Convolutions
小结
本章主要介绍的是流模型的主要思想，在Latent Variable Model经常会遇到后验过于复杂无法求解的问题。流模型绕开了这个部分，对更简单的分布建模，然后建立原分布与简单分布之间的映射关系。个人觉得Stein变分梯度下降就有点流模型的影子在里面。在建立映射关系是用到了重要的change of variables theorem，并之后介绍了变化后的目标函数和梯度求解方法。
参考B站视频【机器学习】【白板推导系列】
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