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Background}
本小节主要介绍的是受限玻尔兹曼机(Restricted Boltzmann Machine, RBM)。这个名字听着逼格确实挺高的，以后和别人吹牛的词汇++。本小节，我们主要讨论的是什么是Boltzmann Machine，然后讲讲它的历史，为我们引出Restricted Boltzmann Machine做铺垫。
什么是Boltzmann Machine？}
其实Boltzmann Machine就是一种Markov Random Field，也就是无向图而已。那么，Boltzmann Machine和普通的无向图有什么不同呢？区别就在于\textbf{Markov Random Field with hidden nodes}，即为无向图中的节点，有一部分是可观测的，一部分是不可观测的。
马尔可夫随机场中的每一个节点代表一个随机变量(Random variable)，而所有的Random variable可以被分为两类，即为observed variable $v$和hidden variable $h$；如下图所示，灰色代表不可观测变量，白色代表可观测变量。
\[\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.25\textwidth]{微信图片_20200228220817.png} \caption{玻尔兹曼机实例图} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\]无向图中的因子分解}
在无向图中，最重要的就是因子分解，\textbf{因子分解是对联合概率进行建模}。它基于最大团的概念来进行分解的，理论基础是Hammersley Clifford Theorem。因子分解的公式表达为：
\(\begin{equation} P(X) = \frac{1}{Z} \prod_{i=1}^k \phi_i (x_{c_i}) \end{equation}\) 其中，$x_{c_i}$表示第$i$个最大团；$x_{c_i}$表示第$i$个最大团中的随机变量组成的集合；$\phi_i (x_{c_i})$表示他们的势函数(Potential Function)。而$Z$是归一化因子，有时也被称为配分函数(Partition Function)。注意两个约束条件，1. $\phi_i (x_{c_i})$是严格正定的；2. $Z$是归一化因子： \(Z = \sum_X \prod_{i=1}^k \phi_i (x_{c_i}) = \sum_{x_1}\sum_{x_2}\cdots \sum_{x_p} \prod_{i=1}^k \phi_i (x_{c_i})\) 在概率图模型中，没有特殊情况都是指离散变量。
因为\textbf{指数族分布是满足最大熵原理的分布}(个人觉得这个最大熵原理简直无处不在，也是为什么很多函数，动不动就变指数函数的原因，实际上是有理论依据的，不是随便加的)。为了简化表达，我们令： \(\phi_i (x_{c_i}) = \exp \left\{ -\mathrm{E}(x_{c_i}) \right\}\) 而且这样就正好满足了$\phi_i (x_{c_i})$是严格正定的需求，而E则被称为能量函数(Energy Function)。所以，联合概率分布，被改写为：
\[\begin{equation} P(X) = \frac{1}{Z} \prod_{i=1}^k \phi_i (x_{c_i}) = \frac{1}{Z} \exp\left\{ -\sum_{i=1}^k \mathrm{E}(x_{c_i}) \right\} \end{equation}\]而最大团中的所有变量，可以用$X$来表达，最后可以化简为一个和$X$相关的能量函数，表达为：
\(\begin{equation} P(X) = \frac{1}{Z} \exp (-\mathrm{E}(X)) \end{equation}\) 很显然，这个分布符合指数族分布的形式，被我们称为Boltzmann Distribution，或者Gibbs Distribution。所以，\textbf{如果取势函数是一个指数函数，那么整体为Boltzmann Distribution}。
前面讲了那么多，我们看了很多概念，我相信大家基本没搞懂，为什么叫“势函数”和“能量函数”，这种奇奇怪怪的叫法。下面我们来看看Boltzmann Distribution的历史，来帮助我们进行理解。
Boltzmann Distribution的历史}
Boltzmann Distribution最早来自于统计物理学，这是一个物理学的概率，这里我们采用感性的理解方式。
一个物理系统由各种各样的粒子组成。而一个系统的状态(State)，由其中各种各样的粒子的状态联合而成。系统状态的概率满足：
\(\begin{equation} P(\mathrm{State}) \propto \exp \left\{ -\frac{\mathrm{E}}{\mathrm{kT}} \right\} \end{equation}\) 其中，$\mathrm{E}$为能量函数，$\mathrm{T}$表示温度，$\mathrm{k}$为一个系数。而能量函数是一个离散的分布，一个System可能有$M$个状态，每个状态对应一个值，如下所示：
\[\begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{l|llllll} State & 1& 2& $\cdots$&i & $\cdots$ & M \\ \hline P & $p_1$& $p_2$& $\cdots$ & $p_i$ & $\cdots$ & $p_M$ \\ \end{tabular} \label{tab:my_label} \end{table}\]因为粒子有速度，受到其他粒子的干扰，所以$\mathrm{E}$和所有的粒子有关。对于$X$的概率函数，和$\mathrm{E}$成反比，能量越大，越不稳定，越容易发生状态的跃迁，当前状态出现的可能性就越小，概率就越低。
所以，如果没有外界的干扰，系统最终就到达一个能量比较低的稳态，因为能量高的状态都待不住。举一个例子，一个人年轻的时候，能量很强，很不稳定，工作对象什么的都很容易换。到了中年以后，这个时候可能追求的是自己的事业上的成功，而相对稳定了一些。到了老年，见的实在是太多了，这是追求的是一种心灵上的平静，内心基本没有什么冲动，一切回归平稳。
这就是无向图中一些概念的来源，用来辅助理解。这里我谈谈自己的理解：一个无向图就是一个系统，系统包括所有的节点，所以系统的状态就是系统中所有节点的联合概率。这个系统的状态的概率和内部的每一个节点都有关系，我们可以用能量函数来进行衡量一个状态出现的可能性，而能量越高的状态越容易发生转移，出现的概率越低，反之亦然。
小结}
本节主要描述了，什么是Boltzmann Machine，核心就是节点分为可观测和不可观测的马尔可夫随机场。并且，概率图的联合分布，当势函数为指数函数时，联合分布是玻尔兹曼分布（吉布斯分布）。随后我们介绍了Boltzmann分布在统计物理学中的来源，来辅助我们对无向图中的一些概念的理解。介绍完了Boltzmann Machine，下面将引出Restricted Boltzmann Machine。
Restricted Boltzmann Machine模型表示}
Boltzmann Machine就是内部的所有节点分为可观测和不可观测的马尔可夫随机场。假设一共有$p$个节点，$m$个不可观测的节点组成集合$h$，$n$个可观测的节点组成集合$v$。即为：
\(\begin{equation} X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h \\ v \end{bmatrix} ,\quad h = \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2\\ \vdots \\ h_m \end{bmatrix} ,\quad v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \end{equation}\) 其中，$m+n=p$。Boltzmann Machine看着好像很好，但是实际上有一些问题。首先，Inference问题很难做，精确推断根本不可能，而近似推断基本也是intractable。正是因为有了这些问题，我们才要想办法对模型进行简化，从而得到了Restricted Boltzmann Machine。
Restricted Boltzmann Machine}
我们只考虑Boltzmann Machine中，$h$和$v$之间的连接，不考虑它们内部的连接。如下图所示：
\[\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.6\textwidth]{微信图片_20200229000824.png} \caption{玻尔兹曼机到受限玻尔兹曼机} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\]我们接下来来定义能量函数的结构：
\[\begin{equation} \begin{split} P(X) = & \frac{1}{Z} \exp (-\mathrm{E}(X)) \\ P(v,h) = & \frac{1}{Z} \exp (-\mathrm{E}(v,h)) \\ \end{split} \end{equation}\]接下来的问题就是如何定义$\mathrm{E}(v,h)$。考虑到，能量函数和系统内部的每一个节点之间有关系。由于不考虑节点内部之间的关系，所以能量函数可以被分解为：$h$节点中每个节点自身的影响，$v$节点中每个节点自身的影响，和$h$和$v$节点之间的影响。前两者考虑的是点自身的影响，后者是考虑两个集合中的点连接的边的影响。
下一步则假设，两个集合中的点连接的边的关系用矩阵$x=[w_{ij}]{m\times n}$表示；$v$集合中的点的关系参数矩阵$\alpha=[\alpha_i]{1\times m}$；$h$集合中的点的关系参数矩阵$\alpha=[\alpha_i]{n\times 1}$；$v$集合中的点的关系参数矩阵$\beta=[\beta_i]{m\times 1}$。然后采用线性的方法来表达$\mathrm{E}$：
\[\begin{equation} \mathrm{E}(v,h) = - (h^T w v + \alpha^T v + \beta^T h) \end{equation}\]求得的能量函数$\mathrm{E}(v,h)$是一个一维实数。所以，联合概率为：
\(\begin{equation} \begin{split} P(X) = & \frac{1}{Z} \exp (-\mathrm{E}(v,h)) = \frac{1}{Z} \exp (h^T w v + \alpha^T v + \beta^T h) \\ = & \frac{1}{Z} \exp(h^T w v)\exp(\alpha^T v)\exp(\beta^T h) \end{split} \end{equation}\) \textbf{其中$ w,\alpha,\beta$都是参数矩阵，可以利用数据来学习出来}。而为什么要这样写？我们其实可以从因子图的角度来解释。 因子图就是在一个图的所有点和所有边上都加一个因子，如下图所示：
\[\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.3\textwidth]{微信图片_20200229004607.png} \caption{受限玻尔兹曼机的因子图} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\]我们可以看到因子的种类可以分成三种，可以分为一组边和两组点的因子。因子和点或者边进行组合就得到了公式(8)一样的形式。
Restricted Boltzmann Machine概率密度函数}
所以Restricted Boltzmann Machine概率密度函数的表现形式如下所示：
\[\begin{equation} \begin{split} P(X) = & \frac{1}{Z} \exp(h^T w v)\exp(\alpha^T v)\exp(\beta^T h) \\ \end{split} \end{equation}\]而其中：
\[\begin{equation} \begin{split} \exp(h^T w v) = \exp(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n h_iw_{ij}v_i) = \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \exp( h_iw_{ij}v_i) \end{split} \end{equation}\]用类似的方法进行转换，我们可以得到：
\[\begin{equation} P(X) = \frac{1}{Z} \underbrace{\prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \exp( h_iw_{ij}v_i)}_{\mathrm{edge}} \underbrace{\prod_{j=1}^n \exp( \alpha_jv_j)}_{\mathrm{node}\ v} \underbrace{\prod_{i=1}^m \exp( \beta_ih_i)}_{\mathrm{node}\ h} \end{equation}\]小结}
本小节首先讲解了，为什么要有Restricted Boltzmann Machine？原因很简单，Boltzmann Machine的复杂度太高。大家有没有觉得Restricted Boltzmann Machine的结构很像神经网络，它和神经网络之间有什么不可告人的秘密呢？然后从点和边的角度对其进行了分解，然后得到了它的概率密度函数。下一节将RBM和之前的东西结合起来，因为它本质上还是一种无向图。
RBM和其他概率图模型的联系}
RBM本质上还是一种无向图，所以我们把之前的东西都总结一下联系起来，来一起看看RBM的发展历史。
Naive Bayes}
朴素贝叶斯算法是最简单的PGM，也是最基础的模型。此算法的核心就是朴素贝叶斯假设，或者说是条件独立假设。这个假设描述的是，当label $y$已知的情况下，各个属性之间是相互独立的。公式表达为： $x_i\perp x_j|y$。朴素贝叶斯概率图如下所示：
\[\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.35\textwidth]{微信图片_20200229202910.png} \caption{朴素贝叶斯概率图模型} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\]Gaussian Mixture Model}
高斯混合模型中引入了隐变量，$y$是一个隐变量，$x$是观测变量。Gaussian Mixture Model概率图模型如下所示：
\(\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.2\textwidth]{微信图片_20200229204430.png} \caption{高斯混合模型概率图模型} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\) \noindent $y$是隐变量，并且是一个离散变量，一共有$k$种选择。并且在$y$给定的情况下，$x$符合一个高斯分布，即为：$P(x|y)\sim$Gaussian Distribution。在此模型中，$y$是一个离散的变量，如果将其扩充为一个变量序列(Sequence)，就演变成了State Space Model。
State Space Model}
State Space Model的主要特点就是两个：
-
引入了隐变量，也就是State；
-
符合两个假设，即为齐次马尔可夫假设和观测独立假设，这两个假设在之前都有过非常详细的介绍。
而State Space Model，大致可以分为三类：1. Hidden Markov Model；2. Kalman Filter；3. Particle Filter。
其中，Hidden Markov Model要求隐变量之间都是离散的；Kalman Filter是线性高斯系统，隐变量之间的转移概率和隐变量到观测变量之间，或者说是转移矩阵和发射矩阵之间都符合高斯分布； Particle Filter是在Kalman Filter的基础上解除了线性高斯分布，认为转移矩阵和发射矩阵之间可以是很复杂的未知分布，通常采用采用的方法来近似求解。这三种模型的概率图模型都一样，如下图所示：
\[\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.35\textwidth]{微信图片_20200229220207.png} \caption{State Space Model概率图模型} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\]Maximum Entropy Markov Model}
Logistics Regression是一种特殊的最大熵模型，简单的说就是最大熵模型求解出的分布是指数族分布。利用最大熵与HMM结合，就得到了MEMM。并且与HMM还有一点主要的不同就是 改变了$y$与$x$之间的有向图方向。MEMM概率图模型如下所示：
\(\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.35\textwidth]{微信图片_20200229215807.png} \caption{Maximum Entropy Markov Model概率图模型} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\) MEMM有两条主要的性质：1. 这是一个判别模型，MEMM主要解决的是标注问题，其中没有隐变量。2. 打破了观测独立假设。
Conditional Random Field}
因为MEMM存在局部归一化的问题，为了解决这个问题，将$x$之间的有向图变成了无向图就得到了条件随机场。而同时也打破了齐次马尔可夫假设。同样CRF主要解决的是标注问题，其中没有隐变量，也是判别模型。概率图模型如下所示：
\(\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.35\textwidth]{微信图片_20200229221504.png} \caption{Conditional Random Field概率图模型} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\) 但是，我们通常说的是Linear Chain Condition Random Field (LC-CRF)，也就是马尔可夫随机场是线型的，概率图模型如下所示：
\(\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.35\textwidth]{微信图片_20200229222221.png} \caption{Linear Chain Condition Random Field概率图模型} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\)
Boltzmann Machine}
Boltzmann Machine本章节已经详细的描述过了，这里不再啰嗦了。主要三个特点：1. 无向图；2. 引入了隐变量；3. 所有节点的联合概率PDF必须是指数族分布，被称为Boltzmann Distribution或者是Gibbs Distribution。概率图模型如下所示：
\[\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.2\textwidth]{微信图片_20200228220817.png} \caption{Boltzmann Machine概率图模型} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\]Restricted Boltzmann Machine}
Boltzmann Machine的算法复杂度太高了，假设观测节点集合内部所有的节点之间相互独立，不可观测节点集合内部所有的节点之间相互独立，就得到了Restricted Boltzmann Machine。概率图如下所示：
\[\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.55\textwidth]{微信图片_20200229000824.png} \caption{Restricted Boltzmann Machine概率图模型} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\]小结}
概率图模型和条件独立之间有着不可划分的关系。条件独立性是尽可能的保留数据之间的结构信息，同时又简化计算。比如，朴素贝叶斯中的条件独立假设是在给定$y$的情况下，属性与属性之间是相互独立的。而State Space Model中的两个假设也是条件独立的。
概率图模型表示可以从以下五个方面分析： \begin{itemize} \item 方向：(有向图/无向图)对应着Bayesian Network和Markov Random Field，很显然有向图有着更强的限制。\textbf{这是从边的角度进行分析。} \item 节点的变量是离散/连续：通常情况下，无特殊说明，都认为变量是离散变量。如果，变量是连续的，则为Gaussian Network。当然，也可以是混合的，部分为离散变量，部分为连续变量。\textbf{这是从点的角度进行分析。} \item 条件独立性：NB中的条件独立性是在随机变量各属性之间；HMM中就是齐次马尔可夫假设和观测独立假设上表示了条件独立性；MEMM打破了观测独立假设，仍然是在条件独立性上做文章；RBM的条件独立性表现在，给定观测变量的情况下，隐变量之间是条件独立的。当然，不仅属性之间可以是条件独立的，结构上也可以使条件独立的。\textbf{这是从边的角度进行分析。} \item 隐变量：是否引入隐变量也是一条重要的性质。Boltzmann Machine和马尔可夫随机场最重要的区别，就是Boltzmann Machine中将节点分成两类，可观测和不可观测。\textbf{这是从点的角度进行分析。} \item PDF是否是指数族分布：PDF是指节点的联合概率分布函数。根据最大熵原理，在给定数据的情况下，指数族分布是使得预测分布熵最大的分布。而BM的PDF一定是一个指数族分布。如果，图结构一个小局部，或者是指数族分布，在计算上也更加有优势。 \end{itemize}
\textbf{实际上，仔细回想，各种概率图模型说白了就是在这5个性质上进行组合，有或者没有，有的话强弱也可以不一样。概率图模型的表示，主要就是围绕这5点来做文章的。}
The Inference of Restricted Boltzmann Machine}
前面我们已经详细的介绍过了Restricted Boltzmann Machine。假设一共有$p$个节点，其中$m$个不可观测的节点组成集合$h$，$n$个可观测的节点组成集合$v$。概率图模型如下所示：
\(\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.45\textwidth]{微信图片_20200229233931.png} \caption{Restricted Boltzmann Machine概率图模型} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\) 公式化表达如下所示，即为：
\(\begin{equation} X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h \\ v \end{bmatrix} ,\quad h = \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2\\ \vdots \\ h_m \end{bmatrix} ,\quad v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \end{equation}\) 其中，$m+n=p$。节点的联合概率密度函数为：
\(\begin{equation} \begin{split} P(X) = \frac{1}{Z} \exp (-\mathrm{E}(X)) \Longleftrightarrow P(v,h) = \frac{1}{Z} \exp (-\mathrm{E}(v,h)) \\ \end{split} \end{equation}\) 而其中，
\[\begin{equation} \begin{split} \mathrm{E}(v,h) = & - h^T w v + \alpha^T v + \beta^T h \\ = & - \left( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n h_iw_{ij}v_i + \sum_{j=1}^n \alpha_j v_j + \sum_{i=1}^m \beta_i h_i \right) \end{split} \end{equation}\]\textbf{个人觉得机器学习中，研究问题的主要流程基本可以拆解成，首先1. 需要知道模型怎么表示(Representation)；2. 然后，通过数据的学习来得到模型的参数(Learning)；3. 最后，利用模型来对未知的数据进行推断(Inference)。}
明确Inference的问题}
\noindent 首先假设Learning的过程已经完成，那么所有的参数我们都已经知道了，所以我们已知的有： {
-
所有的势函数，这样归一化因子就知道了；
-
能量函数；
-
知道能量函数就知道$h$和$v$的联合概率分布$P(v,h)$。 }
~\
\noindent 需要Inference的是三个问题：
-
$P(h v)$； -
$P(v h)$； - $P(v)$。
| 然而，为什么不求$P(v)$呢？实际上求$P(h)$的边缘概率没什么必要，我们更多的是关注在已知$v$的情况下，$P(h | v)$的条件概率分布。$P(h)$中$h$反正也是不可观测的，求了边缘概率分布也没什么用。如果要求解的话和求解$P(v)$的方法一样。 |
求解$P(h|v)$ and $P(v|h)$}
$P(h|v)$和$P(v|h)$求解方法都是一样的，这里就放在一起推导。
$P(h|v)$求解的是$v$中所有节点都知道的情况下，集合$h$的联合概率分布，即为： \(P(h_1,h_2,\cdots,h_m|v)\)
那么，首先我们就要根据条件独立性来对联合概率分布进行化简。那么，我们想想$h_i\perp h_j|v,\ i\neq j$是成立的吗？其实一看就知道是成立的。为什么呢？无向图满足局部马尔可夫性质，这个性质的意思是，当无向图中一个节点，除这个节点以外的所有节点都知道的话，这个节点只和他的邻居有关，和其他节点都是独立的。也就是\textbf。根据： \(P(h_i|-h_i,v) =P(h_i|v)\) 我们就可以得到$h_i\perp h_j|v,\ i\neq j$。所以，根据条件独立性，联合概率可以被简化为：
\(\begin{equation} P(h|v) = \prod_{l=1}^m P(h_l|v) \end{equation}\) 为了简化，我们假设无向图所有节点都是二值的，也就是$h,v\in {0,1 }$。实际上RBM的节点是离散变量，而0/1分布是最简单的离散分布。但是，为了详细的解析，这里用了简单的分布来进行解析，其他的离散分布形式可以看成是0/1分布的变种。
那么，假设我们要求的是$P(h_l=1|v)$，我们已经知道的是$P(v,h)$。那么自然就想到将$h$补齐，我们用$h_{-l}$来表示除$h_l$外的所有节点，所以有：
\begin{equation}
\begin{split}
P(h_l=1|v) = & P(h_l=1|h_{-l},v) = \frac{P(h_l=1,h_{-l},v)}{P(h_{-l},v)} = \frac{P(h_l=1,h_{-l},v)}{\sum_{h_l} P(h_l,h_{-l},v)}
= & \frac{P(h_l=1,h_{-l},v)}{P(h_l=1,h_{-l},v)+P(h_l=0,h_{-l},v)}
\end{split}
\end{equation}
~\
那么，怎么求解呢？首先看分子怎么求。$P(h_l=1,h_{-l},v)$非常的特殊，和联合概率分布不一样的地方在于其中某一个变量的状态是已知的。那么我们把这个变量从联合概率中分解出来，赋予具体的值就可以了。
于是，我们的下一步操作就是对能量函数进行改写，将$h_l$相关的项解析出来。实际上就是和$h_l$自己和相关的边有关。
\[\begin{equation} \begin{split} \mathrm{E}(v,h)= & - \left( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n h_iw_{ij}v_i + \sum_{j=1}^n \alpha_j v_j + \sum_{i=1}^m \beta_i h_i \right) \\ = & \left( \underbrace{\sum_{i=1,i\neq l}^m \sum_{j=1}^n h_iw_{ij}v_i}_{\triangle_1} + \underbrace{\sum_{j=1}^n h_lw_{lj}v_i}_{\triangle_2} + \underbrace{\sum_{j=1}^n \alpha_j v_j}_{\triangle_3} + \underbrace{\sum_{i=1}^m \beta_i h_i}_{\triangle_4} +\underbrace{ \beta_l h_l }_{\triangle_5} \right) \end{split} \end{equation}\]令$H_l(v)=\triangle_2+\triangle_5$，表示和$h_l$相关的部分，很显然因为$h_l$已知，不含和$h$相关的部分了；
令$\Bar{H}l(h,v)=\triangle_1+\triangle_3+\triangle_4$，表示和$h_l$不相关的部分；所以： \begin{equation*} \begin{split} H_l(v)=\triangle_2+\triangle_5 = h_l\left( \sum{j=1}^n w_{lj}v_i + \beta_l \right) \end{split} \end{equation*} 我们将$\sum_{j=1}^n w_{lj}v_i + \beta_l$定义为$ h_l(v)$，所以：
\(\begin{equation} \mathrm{E}(v,h) = h_lh_l(v) + \Bar{H}_l(h,v) \end{equation}\) 那么，分子为：
\(\begin{equation} P(h_l=1,h_{-l},v) = \frac{1}{Z}\exp\left\{ h_l(v) + \Bar{H}_l(h,v) \right\} \end{equation}\) 那么，分母为：
\(\begin{equation} P(h_l=1,h_{-l},v) + P(h_l=0,h_{-l},v) = \frac{1}{Z}\exp\left\{ h_l(v) + \Bar{H}_l(h,v) \right\} + \frac{1}{Z}\exp\left\{ \Bar{H}_l(h,v) \right\} \end{equation}\) 所以，
\(\begin{equation} \begin{split} P(h_l=1|v) = & \frac{P(h_l=1,h_{-l},v)}{P(h_l=1,h_{-l},v) + P(h_l=0,h_{-l},v)} \\ = & \frac{\frac{1}{Z}\exp\left\{ h_l(v) + \Bar{H}_l(h,v) \right\}}{\frac{1}{Z}\exp\left\{ h_l(v) + \Bar{H}_l(h,v) \right\} + \frac{1}{Z}\exp\left\{ \Bar{H}_l(h,v) \right\}} \\ = & \frac{1}{1+\exp\left\{ \Bar{H}_l(h,v) - h_l(v) - \Bar{H}_l(h,v) \right\}} \\ = & \frac{1}{1+\exp\left\{ - h_l(v) \right\}} \end{split} \end{equation}\) 而$\frac{1}{1+\exp\left{ \Bar{H}_l(h,v) - h_l(v) - \Bar{H}_l(h,v) \right}}$实际就是Sigmoid函数，Sigmoid函数的表达形式为：$\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$。
\[\begin{equation} P(h_l=1|v) = \sigma( h_l(v)) = \sigma(\sum_{j=1}^n w_{lj}v_i + \beta_l) \end{equation}\]| 既然已经求得了$P(h_l | v)$，根据公式(15)就可以得到$P(h | v)$的结果了： |
\(\begin{equation} P(h|v) = \prod_{l=1}^m P(h_l|v) = \left( \sigma\left(\sum_{j=1}^n w_{lj}v_i + \beta_l\right) \right)^k\left(1-\sigma\left(\sum_{j=1}^n w_{lj}v_i + \beta_l\right)\right)^{m-k} \end{equation}\) 其中$k$为$h$集合中，$h_l=1$的节点数。
~\
| 已经成功求得了$P(h | v)$，那么求解$P(v | h)$的过程是一模一样的，基本上可以做一个转换，直接得到结果： |
\(\begin{equation} P(v|h) = \prod_{l=1}^m P(h_l|v) = \left( \sigma\left(\sum_{j=1}^m w_{jl}h_j + \alpha_l\right) \right)^k\left(1-\sigma\left(\sum_{j=1}^m w_{jl}h_j + \alpha_l\right)\right)^{n-k} \end{equation}\) 其中$k$为$v$集合中，$v_l=1$的节点数。
那么，到这里对于后验的计算已经完成了，后验实际上就是Sigmoid函数。大家有没有觉得RBM和神经网络很像，我其实早就有这种感觉了，不可观测节点不就是隐藏层。而Sigmoid函数，经常被用来当做神经网络的激活函数。这之间是巧合还是有必然的联系呢？后面的章节我们会有分析的，神经网络实际上是从RBM中发展得到的。
求解$P(v)$}
这一小节，我们的目标是通过Inference来求解Marginal Distribution $P(v)$。思路很简单，既然我们知道联合概率分布$P(v,h)$，那么把$h$节点的变量积分掉不就可以了，所以：
\[\begin{equation} \begin{split} P(v) = & \sum_h P(v,h) = \sum_h \frac{1}{Z} \exp \left\{ -\mathrm{E}(v,h) \right\} = \frac{1}{Z} \sum_h \exp (h^T w v + \alpha^T v + \beta^T h ) \\ = & \frac{1}{Z} \sum_{h_1}\cdots \sum_{h_m} \exp (h^T w v + \alpha^T v + \beta^T h )\\ = & \frac{1}{Z} \exp(\alpha^T v) \sum_{h_1}\cdots \sum_{h_m} \exp (h^T w v + \beta^T h )\\ \end{split} \end{equation}\]我们下一步的目标就是将等式(24)中的所有和$h$相关的项提取出来，分别进行计算。为了方便计算，我们令：
\(\begin{equation} h = \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2\\ \vdots \\ h_m \end{bmatrix}, \ h_l\in\{0,1\}\qquad w=[w_{ij}]_{m\times n} = \begin{bmatrix} ---w_1---\\ ---w_2---\\ \vdots \\ ---w_m---\\ \end{bmatrix} \end{equation}\) 这里的$w$，我们用$m$个行向量来表示。那么， \(h^T w v = \begin{bmatrix} h_1 & h_2 & \cdots & h_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ---w_1---\\ ---w_2---\\ \vdots \\ ---w_m---\\ \end{bmatrix}v = \sum_{i=1}^m h_iw_iv\) \(\beta^Th = \sum_{i=1}^m \beta_i h_i\) 所以，
\(\begin{equation} \begin{split} P(v) = & \frac{1}{Z} \exp(\alpha^T v) \sum_{h_1}\cdots \sum_{h_m} \exp \left(\sum_{i=1}^m h_iw_iv + \sum_{i=1}^m \beta_i h_i\right)\\ = & \frac{1}{Z} \exp(\alpha^T v) \sum_{h_1}\cdots \sum_{h_m} \exp \left(\sum_{i=1}^m (h_iw_iv + \beta_i h_i)\right)\\ = & \frac{1}{Z} \exp(\alpha^T v) \sum_{h_1}\cdots \sum_{h_m} \exp \left(\sum_{i=1}^m (h_iw_iv + \beta_i h_i)\right)\\ = & \frac{1}{Z} \exp(\alpha^T v) \sum_{h_1}\cdots \sum_{h_m} \exp \left((h_1w_1v + \beta_1 h_1)+(h_2w_2v + \beta_2 h_2)\cdots (h_mw_mv + \beta_m h_m)\right)\\ = & \frac{1}{Z} \exp(\alpha^T v) \sum_{h_1}\exp (h_1w_1v + \beta_1 h_1) \sum_{h_2}(h_2w_2v + \beta_2 h_2) \cdots \sum_{h_m}(h_mw_mv + \beta_m h_m) \end{split} \end{equation}\) 由于$h_l \in{0,1}$，所以，
\[\begin{equation} \begin{split} P(v) = &\frac{1}{Z} \exp(\alpha^T v) \sum_{h_1}\exp (h_1w_1v + \beta_1 h_1) \sum_{h_2}(h_2w_2v + \beta_2 h_2) \cdots \sum_{h_m}(h_mw_mv + \beta_m h_m) \\ = &\frac{1}{Z} \exp(\alpha^T v) \left[ 1+\exp(w_1v+\beta_1) \right]\cdots \left[ 1+\exp(w_mv+\beta_m) \right] \\ = & \frac{1}{Z} \exp(\alpha^T v) \exp \left[\log ( 1+\exp(w_1v+\beta_1)) \right]\cdots \exp \left[\log ( 1+\exp(w_mv+\beta_m)) \right] \\ = & \frac{1}{Z} \exp\left(\alpha^T v + \sum_{i=1}^m \log ( 1+\exp(w_iv+\beta_i)) \right) \end{split} \end{equation}\]而$\log ( 1+\exp(w_iv+\beta_i))$是一种softplus函数的形式，softplus函数可以描述为：$\mathrm{softplus}(x) = \log(1+e^x)$，函数图像如下所示：
\(\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.45\textwidth]{微信图片_20200301132709.png} \caption{Softplus函数图像} \label{fig:my_label_1} \end{figure}\) 我们可以看到此函数在正半轴越来越接近Relu函数，所以，接着公式(27)继续向下推导得：
\(\begin{equation} \begin{split} P(v) = & \frac{1}{Z} \exp\left(\alpha^T v + \sum_{i=1}^m \log ( 1+\exp(w_iv+\beta_i)) \right) \\ = &\frac{1}{Z} \exp\left(\alpha^T v + \sum_{i=1}^m \mathrm{softplus} ( w_iv+\beta_i) \right) \end{split} \end{equation}\) 那么，就可以求得关于$v$的边缘概率分布了。$v$可能有$k$种状态，将每种状态的具体值代入即可。最后在总结一下：
\(\begin{equation} P(v) = \frac{1}{Z} \exp\left(\alpha^T v + \sum_{i=1}^m \mathrm{softplus} ( w_iv+\beta_i) \right) \end{equation}\) 其中，$w_i$为$w$矩阵的行向量。
小结}
在本小节中，我们主要计算了三个推断问题，$P(v|h)$，$P(h|v)$，$P(v)$。计算结果如下所示：
\[\begin{equation} \begin{split} & P(v|h) = \prod_{l=1}^m P(h_l|v) = \left( \sigma\left(\sum_{j=1}^m w_{jl}h_j + \alpha_l\right) \right)^k\left(1-\sigma\left(\sum_{j=1}^m w_{jl}h_j + \alpha_l\right)\right)^{n-k} \\ & P(h|v) = \prod_{l=1}^m P(h_l|v) = \left( \sigma\left(\sum_{j=1}^n w_{lj}v_i + \beta_l\right) \right)^k\left(1-\sigma\left(\sum_{j=1}^n w_{lj}v_i + \beta_l\right)\right)^{m-k} \\ & P(v) = \frac{1}{Z} \exp\left(\alpha^T v + \sum_{i=1}^m \mathrm{softplus} ( w_iv+\beta_i) \right) \\ \end{split} \end{equation}\]我看计算的思路都差不多，都是把已知条件分类出来，然后赋予具体的值。我们采用的离散分布是0/1分布是为了简化计算，当值具有多个时，计算的思路也是一样的。\textbf{但是，无论可能的取值变成多少个，整体还是符合指数族分布的。}
Conclusion}
本章节，主要描述了Restricted Boltzmann Machine。主要的讲述思路是先从马尔可夫随机场中引出了Boltzmann Machine，介绍了什么是Boltzmann Machine；然后描述了Boltzmann Machine的计算intractable，然后引出了Restricted Boltzmann Machine；紧接着介绍了Restricted Boltzmann Machine模型表示方法，并讲述了它在概率图模型整体结构中的地位；最后讲述了如何用Restricted Boltzmann Machine来进行推断。
大家可能发现，在使用模型Inference的时候，需要通过Learning来从数据中得到参数的值，这部分会在之后的直面配分函数中描述。
